rock groups – (es)

Al igual que cualquier otra cosa, la aritmética tiene su lado serio y su lado juguetón.

El lado serio es lo que todos aprendimos en la escuela: cómo trabajar con columnas de números, la adición de ellos, su resta, puliéndolos a través de la hoja de cálculo necesaria para las declaraciones de impuestos e informes de fin de año. Este lado de la aritmética es importante, práctico y – para muchas personas – sin alegría.

El lado lúdico de la aritmética es mucho menos familiar, a menos que te hayas formado en los caminos de las matemáticas avanzadas. Sin embargo, no hay nada inherentemente avanzado al respecto. Es tan natural como la curiosidad de un niño.

En su libro «El lamento de un matemático,» Paul Lockhart aboga por un enfoque educativo en el que los números se tratan más concretamente de lo habitual: él nos pide imaginarlos como grupos de rocas. Por ejemplo, seis corresponde a un grupo de rocas de esta manera:

Es probable que no se vea nada sorprendente en esto, y eso es correcto – a menos que planteemos mayores exigencias de los números, todos se ven más o menos igual. Nuestra oportunidad de ser creativos viene con lo que pedimos de ellos.

Por ejemplo, vamos a centrarnos en los grupos que tienen entre 1 y 10 rocas y pedir cuales de estos se pueden reorganizar en patrones cuadrados. Sólo dos de ellos pueden: 4 y 9. Y es que 4 = 2 × 2 y 9 = 3 × 3, obtenemos estos números por medio de la «cuadratura» de algún otro número (en realidad, creando una forma cuadrada).

Un problema menos complicado sería identificar grupos de rocas que pueden ser perfectamente organizados de forma rectangular con dos filas de similar longitud. Eso es posible siempre que haya 2, 4, 6, 8 o 10 rocas; el número tiene que ser par. Todos los otros números del 1 a 10 – los impares – siempre aparecen con un poco extraño mordisco en una esquina.

Sin embargo, no todo está perdido para estos desajustados números. Si se añaden dos de ellos juntos, sus protuberancias ajustan y su suma sale par;  impar + impar = par

Sin embargo, cuando se trata de rectángulos, algunos números como 2, 3, 5 y 7, en verdad no tienen remedio. Añadiéndolos no se puede formar ningún tipo de rectángulo en absoluto, que no sea una simple línea de rocas. Estos números extrañamente inflexibles son los famosos números primos.

Así vemos que los números tienen peculiaridades en su estructura que los dotan de diferentes personalidades. Pero para ver toda la gama de su comportamiento, tenemos que ir más allá de los números individuales y ver lo que ocurre cuando interactúan.

Por ejemplo, en lugar de añadir sólo dos números impares, supongamos que añadimos todos los números impares consecutivos, a partir de 1:

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Las sumas anteriores, notablemente, siempre resultan ser cuadrados perfectos. (Vimos 4 y 9 en los patrones de cuadrados que se señalaron anteriormente, y 16 = 4 × 4, y 25 = 5 × 5.) Un rápido vistazo muestra que esta regla sigue funcionando para mayores y mayores números impares; Al parecer sigue el mismo camino hasta el infinito. Pero, ¿qué posible conexión puede haber entre los números impares, con sus desgarbadas esquinas, y los números clásicamente simétricos que forman cuadrados? Al organizar nuestras rocas de la manera correcta, podemos hacer que este enlace sorprendente parezca obvio – el sello de una prueba elegante.

La clave es reconocer que los números impares pueden tomar forma de L,  por sus protuberancias desechadas en las esquinas. Y cuando apilas sucesivas formas de L, ¡se acaba obteniendo un cuadrado!

Este estilo de pensamiento aparece en otro libro reciente, aunque, por razones literarias, totalmente diferente. En la encantadora novela de Yoko Ogawa «El Ama de llaves y el Profesor,» una mujer joven y astuta – aunque sin educación – con un hijo de 10 años de edad, es contratada para cuidar al Profesor, un matemático de edad avanzada que ha sufrido una lesión cerebral traumática que lo ha dejado con sólo 80 minutos de memoria a corto plazo. A la deriva en el presente y solo en su miserable casa con nada más que sus números, el Profesor intenta conectar con el Ama de llaves de la única manera que sabe: preguntando acerca de su número de calzado o de su cumpleaños y haciendo pequeños comentarios de matemáticas sobre sus estadísticas. El Profesor también siente una unión especial con el hijo del Ama de llaves, a quien él llama la Raíz, porque la aplanada parte superior de la cabeza del muchacho le recuerda el símbolo de raíz cuadrada: Un día el profesor propone a Raíz de un pequeño problema: ¿Puedes calcular la suma de todos los números del 1 al 10? Después de que Raíz cuidadosamente suma los números y entrega la respuesta (55), el profesor le pregunta si sería capaz  de encontrar una mejor manera de obtener el resultado. ¿Puedes encontrar la respuesta sin necesidad de sumar los números? Raíz patea la silla y grita: «¡Eso no es justo!»

Mientras tanto, poco a poco, el Ama de llaves comienza a imbuirse dentro del mundo de los números, y en secreto comienza a explorar el mismo rompecabezas. «No estoy segura de por qué me he enfrascado tanto en este problema de matemáticas para niños, sin ningún valor práctico», dice ella. «Al principio era consciente de que solo quería agradar al profesor, pero poco a poco esa sensación se ha desvanecido y se ha convertido en una batalla entre el problema y yo. Cuando me despierto por la mañana, la ecuación está ahí esperandome:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55

Y me persigue a lo largo del día, como si se hubiese fusionado con mi retina y no pudiese ser ignorada

Hay varias maneras de resolver el problema del Profesor (veamos cuántas se te ocurren a ti). El propio Profesor da un argumento a lo largo de las líneas que hemos desarrollado anteriormente. Él interpreta la suma 1 a 10 como un triángulo de las rocas, con una roca en la primera fila, dos en el segundo y así sucesivamente, hasta 10 rocas en la fila 10:

Por su propia apariencia esta imagen da una idea clara de espacio negativo. Parece sólo medio completa. Lo que sugiere un salto creativo. Si copias el triángulo, la das vuelta del revés y lo añades como la parte que falta a lo que ya existe, se obtiene algo mucho más sencillo: un rectángulo con 10 filas de 11 rocas de cada uno, con un total de 110.

Dado que el triángulo original es la mitad del rectángulo obtenido, la respuesta deseada debe ser la mitad de 110, o sea 55.

Mirar a los números como grupos de rocas puede parecer inusual, pero en realidad es tan antiguo como las propias matemáticas. La palabra «calcular» refleja ese legado -viene de la palabra latina «cálculo», que significa: piedra utilizada para el recuento o piedra pequeña en general. Para pasarlo bien trabajando con números, no tienes que ser Einstein (que en alemán significa «una piedra»), pero te puede ayudar el tener algunas piedras en la cabeza.

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Rock Groups – Steven Strogatz (August 13, 1959) – Traducción por Dugutigui